NAJWA KHAIRI ELHAMDI
X MIPA 3
NO ABSEN : 22
SISTEM PERSAMAAN KUADRAT KUADRAT (SPKK)
Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat atau disingkat dengan SPKK merupakan sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan kuadrat yang masing-masing memuat dua variabel. SPKK memiliki beberapa macam bentuk salah satunya berbentuk eksplisit. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut.
y = ax2 + bx + c ……………. (bagian kuadrat pertama) |
y = px2 + qx + r ……………. (bagian kuadrat kedua) |
Dengan a, b, c, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.
Cara Menentukan Penyelesaian SPKK
y = x2 ……………………… pers. (1)
y = x2 – 2x ……………….. Pers. (2)
Subtitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (2) sehingga diperoleh:
⇒ x2 = x2 – 2x
⇒ 2x = x2 – x2
⇒ 2x = 0
⇒ x = 0
Untuk x = 0 maka y = 0
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {(0, 0)}.
Secara geometris, anggota himpunan penyelesaian SPKK di atas adalah titik potong antara kurva yang berbentuk parabola dengan persamaan y = x2 dan y = x2 – 2x seperti yang tampak pada gambar berikut ini.
Secara umum, untuk memperoleh penyelesaian SPKK dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1: Subtitusikan bagian kuadrat persamaan pertama ke bagian kuadrat yang kedua atau sebaliknya sehingga diperoleh persamaan kuadrat baru.
Langkah 2: Selesaikan persamaan kuadrat baru yang diperoleh pada langkah pertama.
Langkah 3: Subtitusikan nilai x yang diperoleh pada langkah kedua ke persamaan pertama atau persamaan kedua. Untuk mempermudah perhitungan, silahkan kalian pilih persamaan kuadrat yang lebih sederhana.
Banyaknya penyelesaian yang diperoleh ditentukan oleh banyaknya nilai x pada penyelesaian langkah kedua. Dengan demikian, nilai itu bergantung pada nilai diskriminannya.
1 | Jika D > 0, SPKK mempunyai dua himpunan penyelesaian (parabola berpotongan di dua titik). |
2 | Jika D = 0, SPKK mempunyai satu himpunan penyelesaian (parabola berpotongan di satu titik atau saling bersinggungan). |
3 | Jika D < 0, SPKK tidak mempunyai himpunan penyelesaian (parabola tidak berpotongan atau bersinggungan). |
Secara umum, dapat kita katakan sebagai berikut.
Misalkan diketahui SPKK:
y = ax2 + bx + c
y = px2 + qx + r
dengan a, b, c, p, q, dan r bilangan real. Diskriminan persamaan kuadratnya adalah D. Maka banyaknya himpunan penyelesaian SPKK ditentukan sebagai berikut.
Jika (a – p) = 0 atau a = p, SPKK memiliki satu himpunan penyelesaian. |
Jika (a – p) ≠ 0 dan D > 0, SPKK memiliki dua himpunan penyelesaian. |
Jika (a – p) ≠ 0 dan D = 0, SPKK memiliki satu himpunan penyelesaian. |
Jika (a – p) ≠ 0 dan D < 0, SPKK tidak memiliki himpunan penyelesaian. |
Contoh Soal dan Pembahasan
1. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK jika diketahui persamaan y = 5x² dan y = 6x² – 7x?
Pembahasan dapat menggunakan substitusi y = 5x² ke y = 6x² – 7x. Untuk itu hasilnya akan menjadi:
5x² = 6x² – 7x
6x² – 5x² – 7x = 0
x² – 7x = 0
x(x – 7) = 0
x = 0 atau x = 7
Selanjutnya nilai x di atas disubtsitusikan ke persamaan y = 5x². Maka :
Untuk x = 0 → y = 5x²
y = 5(0)²
y = 0
Untuk x = 7 → y = 5x²
y = 5(7)²
y = 245
Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah {(0, 0), (7, 245)}.
2. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK jika persamaannya y = x² – 3 dan y = x² – 2x – 9?
Pembahasan dapat menggunakan substitusi y = x² – 3 ke y = x² – 2x – 9. Untuk itu hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini:
x² – 3 = x² – 2x – 9
x² – x² = -2x – 9 + 3
2x = -6
x = -3
Setelah itu x = -3 disubstitusikan ke y = x² – 3. Maka:
y = x² – 3
y = (-3)² – 3
y = 6
Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah {(-3, 6)}.
SOAL LATIHAN
1. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.
y = x2 – 1
y = x2 – 2x – 3
Jawab:
Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 – 1 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 – 2x – 3 sehingga diperoleh:
⇒ x2 – 1 = x2 – 2x – 3
⇒ x2 – x2 = –2x – 3 + 1
⇒ 2x = –2
⇒ x = –1
Selanjutnya, subtitusikan nilai x = –1 ke persamaan y = x2 – 1 sehingga diperoleh:
⇒ y = x2 – 1
⇒ y = (–1)2 – 1
⇒ y = 1 – 1
⇒ y = 0
Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(–1, 0)}. Tafsiran geometrinya adalah grafik parabola y = x2 – 1 dan parabola y = x2 – 2x – 3 berpotongan di satu titik, yaitu di (–1, 0).
2. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.
y = x2
y = 2x2 – 3x
Jawab:
Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = 2x2 – 3x sehingga diperoleh:
⇒ x2 = 2x2
⇒ 2x2 – x2 – 3x = 0
⇒ x2 – 3x = 0
⇒ x(x – 3) = 0
⇒ x = 0 atau x = 3
Selanjutnya, subtitusikan nilai x = 0 dan x = 3 ke bagian kuadrat yang pertama y = x2.
■ Untuk x = 0 diperoleh:
⇒ y = x2
⇒ y = (0)2
⇒ y = 0
■ Untuk x = 3 diperoleh:
⇒ y = x2
⇒ y = (3)2
⇒ y = 9
Dengan demikian, himpunan penyelesaian SPKK itu adalah {(0, 0), (3, 9)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPKK tersebut secara geometris dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara parabola y = x2 dengan parabola y = 2x2 – 3x. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini.
3. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.
y = x2 – 1
y = x2 – 2x – 3
Jawab:
Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 – 1 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 – 2x – 3 sehingga diperoleh:
⇒ x2 – 1 = x2 – 2x – 3
⇒ x2 – x2 = –2x – 3 + 1
⇒ 2x = –2
⇒ x = –1
Selanjutnya, subtitusikan nilai x = –1 ke persamaan y = x2 – 1 sehingga diperoleh:
⇒ y = x2 – 1
⇒ y = (–1)2 – 1
⇒ y = 1 – 1
⇒ y = 0
Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(–1, 0)}. Tafsiran geometrinya adalah grafik parabola y = x2 – 1 dan parabola y = x2 – 2x – 3 berpotongan di satu titik, yaitu di (–1, 0). Perhatikan gambar di bawah ini.
4. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.
y = −2x2
y = x2 + 2x + 1
Jawab:
Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = −2x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 + 2x + 1 sehingga diperoleh:
⇒ −2x2 = x2 + 2x + 1
⇒ 2x2 + x2 + 2x + 1 = 0
⇒ 3x2 + 2x + 1 = 0
Persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar real karena nilai diskriminannya adalah bilangan negatif. Perhatikan perhitungan berikut ini.
D = b2 – 4ac
Dengan a = 3, b = 2 dan c = 1 sehingga:
⇒ D = (2)2 – 4(3)(1)
⇒ D = 4 – 12
⇒ D = –8
Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah himpunan kosong atau ditulis sebagai {∅}. Tafsiran geometrisnya adalah grafik parabola y = −2x2 dan y = x2 + 2x + 1 tidak berpotongan dan tidak bersinggungan seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut ini.
5. Diketahui persamaan y = x² – 2 dan y = x² – 3x – 8. Hitunglah himpunan penyelesaian SPKK tersebut?
Jawaban.
Contoh soal sistem persamaan kuadrat kuadrat ini dapat diselesaikan dengan cara seperti berikut:
Bagian kuadrat pertama y = x² – 2 disubstitusikan ke bagian kuadrat kedua y = x² – 3x – 8. Maka hasilnya:
x² – 2 = x² – 3x – 8
x² – x² = -3x – 8 + 2
3x = -6
x = -2
Nilai x = -2 disubstitusikan ke y = x² – 2, maka:
y = x² – 2
y = (-2)² – 2
y = 4 – 2
y = 2
Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah {(-2. 2)}.
DAFTAR PUSAKA :
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/12/sistem-persamaan-kuardrat-dan-kuadrat.html
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/12/contoh-soal-SPKK.html
http://www.antotunggal.com/2021/02/contoh-soal-sppk-dan-jawaban.html
https://rpp.co.id/soal-sistem-persamaan-kuadrat-kuadrat-spkk/
Komentar
Posting Komentar