Persamaan dan Pertidaksamaan Rasional

Nama : Najwa Khairi Elhamdi

Kelas : X MIPA 3

No. Absen : 22

~ Persamaan Rasional ~

A. Definisi 

Persamaan rasional adalah persamaan dalam bentuk pecahan yang memuat satu atau lebih variabel pada pembilang atau penyebut.

Bentuk umum : 

 f(x) 

g(x) 

 = 0   dengan  g(x) ≠ 0

B. Cara menentukan penyelesaian persamaan rasional :

1. Nolkan ruas kanan.
2. Faktorkan pembilang dan penyebut.
3. Tentukan syarat penyelesaian yaitu penyebut tidak sama dengan nol.
4. Tentukan penyelesaian yaitu penyebut sama dengan nol dan memenuhi syarat pada langkah 3.
5. Tuliskan HP.

C. Contoh Soal Persamaan Rasional

1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan rasional 

x – 1

2

 – 

3x

4

 = 0

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita gunakan metode pindah ruas dan kali silang. Ketika memindahkan angka atau variabel dari satu ruas ke ruas lainnya kita ganda negatif menjadi positif atau sebaliknya. Jadi jawaban soal diatas sebagai berikut:

→ 

x – 1

2

 = 

3x

4

→ 4 (x – 1) = 2. 3x

→ 4x – 4 = 6x

→ 4x – 6x = 4

→ -2x = 4

→ x = 

-4

2

 = -2

2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan rasional berikut.

x – 3

x – 1

 + 

x – 2

x – 1

 = 4

Penyelesaian soal

Cara menjawab soal nomor 3 kita jumlahkan ruas kiri sehingga diperoleh:

→ 

x – 3 + (x – 2)

x – 1

 = 4

→ 

2x – 5

x – 1

 = 4

→ 2x – 5 = 4 (x – 1)

→ 2x – 5 = 4x – 4

→ 4x – 2x = -5 + 4

→ 2x = -1

→ x = -1/2

3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan rasional dibawah ini.

1 . 

x + 1

x – 2

 = 2

2. 

2x – 4

x + 1

 = 4

Penyelesaian soal

Cara menjawab soal 1 sebagai berikut:

→ x + 1 = 2 (x – 2) atau x + 1 = 2x – 4

→ x – 2x = -4 – 1

→ - x = -5

→ x = 5

Cara menjawab soal 2 sebagai berikut:

→ 2x – 4 = 4 (x + 1)

→ 2x – 4 = 4x + 4

→ 2x – 4x = 4 + 4

→ -2x = 8

→ x = ⁸/_-2 = -4

~ Pertidaksamaan Rasional ~

A. Definisi 

Pertidaksamaan rasional adalah persamaan pecahan dengan notasi kurang dari, lebih dari, kurang dari sama dengan dan lebih dari sama dengan.

Bentuk umum :

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ > 0  atau  $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ ≥ 0  ; g(x) ≠ 0

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ < 0  atau  $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ ≤ 0  ; g(x) ≠ 0.

B. Langkah-langkah umum menyelesaikan pertidaksamaan rasional adalah :

1. Nolkan ruas kanan.
2. Faktorkan pembilang dan penyebut menjadi faktor-faktor linear.
3. Tentukan pembuat nol.
4. Tulis pembuat nol pada garis bilangan.
5. Tentukan daerah-daerah yang dibatasi oleh pembuat nol.
6. Ambil masing-masing satu titik pada setiap daerah dan uji ke pertidaksamaan, dan tulis mana daerah yang memenuhi dan yang tidak memenuhi.
7. Arsir daerah yang memenuhi.
8. Tuliskan HP.

C. Contoh Soal Pertidaksamaan Rasional 

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan rasional 

x2 – 4x + 4

x + 1

 < 0

Penyelesaian soal

Pembilang pada soal diatas kita faktorkan sehingga bentuk soal menjadi:

(x – 2) (x – 2)

x + 1

Syarat yang berlaku pertidaksamaan diatas adalah adalah x + 1 ≠ 0 atau x ≠ -1.

Selanjutnya kita tentukan pembuat nol sebagai berikut:

→ (x – 2) (x – 2) = 0 maka diperoleh x = 2

→ x + 1 = 0 maka x = – 1

Selanjutnya kita buat garis bilangan sebagai berikut:

- Untuk x > 2 kita ambil angka 3 lalu subtitusi ke ^{x2 – 4x + 4}/_{x + 1} maka diperoleh ^{32 – 4 . 3 + 4}/_{3 + 1} = + 1/4. Jadi tanda garis bilangan setelah 2 adalah positif.

- Untuk interval -1 < x < 2 kita angka nol lalu subtitusi seperti poin diatas sehingga didapat ^{02 – 4 . 0 + 4}/_{0 + 1)} = + 4. Jadi tanda garis bilangan diantara – 1 hingga 2 adalah negatif.

-  Untuk interval x < -1 kita ambil angka -2 lalu subtitusi seperti 2 poin diatas maka hasilnya – 8. Jadi tanda garis bilangan sebelum -1 adalah negatif. Jika digambarkan seperti dibawah ini.

Jadi interval yang memenuhi adalah

 x < – 1.

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan rasional dari 

x – 4

x – 1

 ≥ 0

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini tentukan terlebih dahulu syarat pertidaksamaan yaitu x – 1 ≠ 0 atau x ≠ 1.

Selanjutnya kita buat pembuat nol sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:

→ x – 4 = 0 maka x = 4

→ x – 1 = 0 maka x = 1

Kemudian kita buat garis bilangan sebagai berikut :

Untuk menentukan tanda + atau – pada garis bilangan diatas kita ambil satu angka yang lebih kecil dari 1 (misalkan 0). Angka 0 kita subtitusi ke ^{(x – 4)}/_{(x – 1)} maka didapat ^{(0 – 4)}/_{(0 – 1)} = + 4. Jadi tanda garis bilangan di sebelah kiri 1 adalah + lalu kita buat selang seling untuk tanda garis bilangan selanjutnya.

Karena notasi pertidaksamaan lebih dari sama dengan maka himpunan penyelesaian ^{(x – 4)}/_{(x – 1)} terletak pada garis bilangan bertanda + atau pada interval x < 1 atau x ≥ 4.

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan rasional 

2x + 4

x – 2

 ≺ 0

Penyelesaian soal

Syarat pertidaksamaan soal nomor 2 adalah x – 2 ≠ 0 atau x ≠ 2. Kemudian kita buat pembuat nol sehingga diperoleh : 

→ 2x + 4 = 0 maka x = -2

→  x – 2 = 0 maka x = 2

Karena notasi pertidaksamaan soal ini adalah kurang dari maka interval himpunan penyelesaian berada di tanda negatif atau -2 < x < 2.

Daftar Pustaka : 

https://soalfismat.com/contoh-soal-persamaan-dan-pertidaksamaan-rasional/

https://www.catatanmatematika.com/2021/08/materi-persamaan-dan-pertidaksamaan-rasional.html?m=1