Soal Persamaan & Pertidaksamaan Rasional & Irasional

Nama : Najwa Khairi Elhamdi

Kelas : X MIPA 3

No. Absen : 22

~ Soal Persamaan Rasional ~

1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan rasional 

x – 1

2

 – 

3x

4

 = 0

Jawaban :

Gunakan metode pindah ruas dan kali silang. Ketika memindahkan angka atau variabel dari satu ruas ke ruas lainnya kita ganda negatif menjadi positif atau sebaliknya. 

→ 

x – 1

2

 = 

3x

4

→ 4 (x – 1) = 2. 3x
→ 4x – 4 = 6x
→ 4x – 6x = 4
→ -2x = 4
→ x = 

-4

2

 = -2

2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan rasional dibawah ini.

1 . 

x + 1

x – 2

 = 2
2. 

2x – 4

x + 1

 = 4

Jawaban :

Cara menjawab soal 1 :

x + 1 = 2 (x – 2) atau x + 1 = 2x – 4

x – 2x = -4 – 1

-x = -5

 x = 5

Cara menjawab soal 2 : 

2x – 4 = 4 (x + 1)

2x – 4 = 4x + 4

2x – 4x = 4 + 4

-2x = 8

x = ⁸/_-2 = -4

3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan rasional berikut.

x – 3

x – 1

 + 

x – 2

x – 1

 = 4

Jawab : 

→ 

x – 3 + (x – 2)

x – 1

 = 4
→ 

2x – 5

x – 1

 = 4
→ 2x – 5 = 4 (x – 1)
→ 2x – 5 = 4x – 4
→ 4x – 2x = -5 + 4
→ 2x = -1
→ x = -1/2

   ~ Soal Pertidaksamaan Rasional ~

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan rasional dari 

x – 4

x – 1

 ≥ 0

Jawaban : 

Untuk menjawab soal ini tentukan terlebih dahulu syarat pertidaksamaan yaitu x – 1 ≠ 0 atau x ≠ 1.

Selanjutnya kita buat pembuat nol sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:

x – 4 = 0 maka x = 4

x – 1 = 0 maka x = 1

Kemudian kita buat garis bilangan sebagai berikut::

Untuk menentukan tanda + atau – pada garis bilangan diatas kita ambil satu angka yang lebih kecil dari 1 (misalkan 0). Angka 0 kita subtitusi ke ^{(x – 4)}/_{(x – 1)} maka didapat ^{(0 – 4)}/_{(0 – 1)} = + 4. Jadi tanda garis bilangan di sebelah kiri 1 adalah + lalu kita buat selang seling untuk tanda garis bilangan selanjutnya.

Karena notasi pertidaksamaan lebih dari sama dengan maka himpunan penyelesaian ^{(x – 4)}/_{(x – 1)} terletak pada garis bilangan bertanda + atau pada interval x < 1 atau x ≥ 4.

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan rasional 

2x + 4

x – 2

 < 0

Jawaban : 

Syarat pertidaksamaan soal nomor 2 adalah x – 2 ≠ 0 atau x ≠ 2. Kemudian kita buat pembuat nol sehingga diperoleh:

2x + 4 = 0 maka x = -2

x – 2 = 0 maka x = 2

Karena notasi pertidaksamaan soal ini adalah kurang dari maka interval himpunan penyelesaian berada di tanda negatif atau -2 < x < 2.

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan rasional 

x2 – 4x + 4

x + 1

 < 0

Jawaban : 

Pembilang pada soal diatas kita faktorkan sehingga bentuk soal menjadi:

(x – 2) (x – 2)

x + 1

Syarat yang berlaku pertidaksamaan diatas adalah adalah x + 1 ≠ 0 atau x ≠ -1.

Selanjutnya kita tentukan pembuat nol sebagai berikut:

# (x – 2) (x – 2) = 0 maka diperoleh x = 2.

# x + 1 = 0 maka x = – 1

Selanjutnya kita buat garis bilangan sebagai berikut:

# Untuk x > 2 kita ambil angka 3 lalu subtitusi ke ^{x2 – 4x + 4}/_{x + 1} maka diperoleh ^{32 – 4 . 3 + 4}/_{3 + 1} = + 1/4. Jadi tanda garis bilangan setelah 2 adalah positif.

# Untuk interval -1 < x < 2 kita angka nol lalu subtitusi seperti poin diatas sehingga didapat ^{02 – 4 . 0 + 4}/_{0 + 1)} = + 4. Jadi tanda garis bilangan diantara – 1 hingga 2 adalah negatif.

# Untuk interval x < -1 kita ambil angka -2 lalu subtitusi seperti 2 poin diatas maka hasilnya – 8. Jadi tanda garis bilangan sebelum -1 adalah negatif. Jika digambarkan seperti dibawah ini.

~ Soal Persamaan Irasional ~

1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan irasional √ x – 1   = x – 3

Penyelesaian soal

Jawaban : 

Tentukan dahulu syarat agar persamaan irasional berlaku yaitu:

x – 1 ≥ 0 atau x ≥ 1.

x – 3 ≥0 atau x ≥ 3.

Ambil syarat yang terbesar sehingga syarat yang berlaku pada persamaan irasional soal nomor 1 adalah x ≥ 3.

Selanjutnya hilangkan tanda akar dengan cara mengkuadratkan kedua ruas persamaan seperti dibawah ini :

( √ x – 1 )2 = (x – 3)2

(x – 1) = x2 – 6x + 9

x2 – 6x – x + 9 + 1 = 0

x2 – 7x + 10 = 0

(x – 2) (x – 5) = 0

x = 2 atau x = 5

Karena syarat yang berlaku pada persamaan nomor 1 adalah x ≥ 3 maka nilai x yang memenuhi adalah x = 5. Jadi soal nomor 1 jawabannya adalah x = 5.

Untuk memeriksa apakah jawaban ini benar atau salah maka caranya cukup mudah yaitu dengan subtitusi x = 5 ke persamaan irasional nomor 1:

√ x – 1 = x – 3

√ 5 – 1 = 5 – 3

√ 4 = 2

2 = 2

Kita lihat jawabannya sesuai.

2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan irasional √ x2 – 9   = √ x + 3   .

Jawaban : 

- Tentukan dahulu syarat persamaan irasional yaitu:

x2 – 9 ≥ 0 atau x2 ≥ 9 → x ≤ -3 atau x ≥ 3

x + 3 ≥ 0 atau x ≥ -3

Kita lihat syarat pertama x ≤ -3 dan yang kedua x ≥ -3 jadi syarat yang berlaku adalah x = -3 dan x ≥ 3.

Setelah itu kita kuadratkan kedua ruas persamaan irasional sehingga didapat :

(√ x2 – 9 )2 = ( √ x + 3 )2.

x2 – 9 = x + 3

x2 – x – 9 – 3 = 0

x2 -x – 12 = 0

(x – 4) (x + 3) = 0

x = 4 atau x = -3

Berdasarkan syarat kedua nilai x memenuhi sehingga jawaban soal ini adalah x = -3 dan x = 4

 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari  

Jawaban : 

 

Subtitusikan x = 3 dan x =  -2 ke persamaan semula,

Jadi, himpunan penyelesainnya adalah { 3 , - 2}

~ Soal Pertidaksamaan Irasional ~

1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan irasional

√ x – 1 < √ 2 – x 

Penyelesaian :

# Syarat agar fungsi yang ada pada pertidaksamaan tersebut terdefinisi adalah x – 1 ≥ 0 dan 2 – x ≥ 0

x – 1 ≥ 0   atau   2 – x ≥ 0

x ≥ 1                    2 ≥ x

jadi syarat terdefinisinya = 1 ≤ x ≤ 2

# Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah

Penyelesaian :

√ x – 1 < √ 2 – x 

x – 1 < 2 – x

2 x < 3

 x < 3/2

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan irasional adalah x < 3/2

2. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan irasional dari 

√ x + 5 < 4 

Penyelesaian : 

* Pertama, kedua ruas dikuadratkan, sehingga diperoleh pertidaksamaan sebagai berikut:

⇒ (√ x + 5 )2  <  42

⇒ x + 5 < 16
⇒ x < 16 – 5
⇒ x < 11

Kedua, syarat u(x) ≥ 0, maka:
⇒ x + 5 ≥ 0
⇒ x ≥ −5

Ketiga, penyelesaian kedua diatas merupakan irisan kedua interval itu. Maka, penyelesaiannya ialah alah −5 ≤ x < 11.

Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya ialah {x | −5 ≤ x < 11, x ∈ R}. 

3. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari √ x + 4 > −2

Penyelesaian : 

x + 4 ≥ 0

x ≥ 4

HP = {x ≥ −4}

Daftar Pustaka : 

https://soalfismat.com/contoh-soal-persamaan-dan-pertidaksamaan-rasional/

https://soalfismat.com/contoh-soal-persamaan-pertidaksamaan-irasional-dan-penyelesaiannya/

https://www.kelaspintar.id/blog/tips-pintar/apa-itu-pertidaksamaan-irasional-9251/

https://rumus.co.id/pertidaksamaan-irasional/