Nama : Najwa Khairi Elhamdi

Kelas : X MIPA 3

No. Absen : 22

LUAS SEGI-n BERATURAN

Pada dasarnya bangun datar segi-n beraturan terbentuk dari lingkaran yang dibagi-bagi menjadi beberapa bagian yang sama besar (berbentuk segitiga sama kaki). Sehingga untuk menghitung luas dan keliling bangun datar segi-n kita akan melibatkan sudut pusat dan jari-jarinya. Sudut pusatnya adalah sudut pada segitiga dengan besarnya adalah yang ditunjukkan oleh tanda sudut warna 360°/ n yang ditunjukkan oleh tanda sudut warna merah. Sementara sisi dari bangun datar segi-n ditunjukkan oleh huruf x. Perhatikan gambar berikut ini.

Rumus Luas Segi - n Beraturan

Cara menghitung luas dan keliling bangun segi n beraturan memang menerapkan konsep luas segitiga yang menggunakan aturan sinus dan kosinus. Aturan sinus digunakan untuk menghitung luas segi n beraturan dan aturan kosinus digunakan untuk menghitung keliling segi n beraturan.

Segi n beraturan dapat dihitung luasnya menggunakan konsep luas segitiga dengan sinus. Apabila dinyatakan dalam bentuk persamaan akan menjadi seperti di bawah ini:
Luas segitiga = ½ . r . r . sin θ = ½ r² sin 360°/n
Dari persamaan tersebut dapat diperoleh rumus luas segi n beraturan seperti berikut ini:
Luas segi n = n x Luas segitiga
Luas segi n = n/2 r² sin 360°/n

Contoh Soal Segi n Beraturan

1. Tentukan luas segi 12 beraturan yang jari jari lingkaran luarnya memiliki panjang 9 cm?
Pembahasan.
Diketahui : r = 9 cm ; n = 12
Ditanyakan : Luas = ?

Jawab :
Luas = n/2 r² sin 360º/n
= 12/2 x 9² x sin 360º/12
= 6 x 81 x sin 30º
= 6 x 81 x ½
= 243 cm²

Jadi luas segi 12 beraturan tersebut ialah 243 cm².

Jari-jari Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga

Bagaimana mencari jari-jari dan luas lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga. Jika sudah ketemu jari-jarinya, untuk mencari luas segitiganya sobat tinggal memasukkannya ke rumus luas lingkaran

L = Phi r²

Lingkaran Dalam Segitiga

Cara membuat lingkaran dalam segitiga , buatlah garis bagi simetris dari masing-masing segitiga. Garis bagi adalah garis yang membagi sudut segitiga tersebut sama besar. Bagaimana cara membuat garis bagi akan kita bahas nanti). Dari titik perpotongan ketiga garis bagi tersebut dapat dibuat sebuah lingkaran. Titik potong ketiga garis bagikan menjadi pusat lingkaran dan kelilingnya akan tepat menyinggung masing-masing sisi segitiga.

lingkaran dalam segitiga

Jari - Jari Lingkaran Dalam

Perhatikan gambar di atas, jari-jari lingkaran yang akan kita cari adalah OE = OF = OD. Ketiganya sama dengan tinggi dari segitiga 1, 2 dan 3.

Luas Segitiga Besar = Luas ΔI + Luas ΔII + Luas ΔIII

——————- = 1/2 (AB x OD) + 1/2 ( CB x OE) + 1/2 (AC x OF)

——————- = 1/2 (AB x r) + 1/2 (CB x r) + 1/2 (AC x r)

——————- = 1/2 r (AB + CB + C)

——————- = 1/2. r. Keliling Segitiga (setengah keliling bisa dilambangkan dengan s?)

——————- = r. S

Jadi L = r . S

r = L/S

Jadi, jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga dengan 1/2 kelilingnya. Sekarang bagaimana mencari luas segitiganya? Karena segitiga di atas adalah segitiga sembarang sobat bisa menggunakan rumus

Jadi rumus jari-jari lingkaran dalam menjadi:

dengan

L = Luas Segitiga
S = 1/2 keliling Δ = 1/2 (a + b + c)
Rumus di atas tergantung jenis segitiga. Kalau segitiga siku-siku akan lebih enak mencari luasnya dengan rumus 1/2 alas kali tinggi daripada menggunakan s.

Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang dibentuk dari perpanjangan garis bagi tiga sisi segitiga dan kelilingnya akan tepat menyinggung tiga titi sudut segitiga yang ada di dalamnya. Perhatikan gambar di bawah ini.

Pada gambar di samping, terdapat sebuah segitiga ABC dengan dengan sisi a, b, dan c. Ada lingkaran luar yang berpusat di titik O yang mengitari segitiga tersebut. OA, OB, OC. dan OD masing-masing adalah jari-jari lingkaran luar yang akan kita cari rumusnya. Untuk membantu menemukan rumus jari-jari, kita memakai garis bantu yaitu garis tinggi segitiga CT dan garis diameter yang ditarik dari titik C (garis CD).
Perhatikan ΔCAD dengan ΔCTB
∠CAD = ∠CTB = 90^o (ingat sifat sudut keliling yang menghadap diameter sama dengan 90º)
∠ADC = ∠TBC (ingat bahwa dua sudut keliling yang menghadap busur lingkaran yang sama adalah sama besar)
Karena ada dua pasang sudut yang sama maka bisa disimpulkan bahwa ΔCAD dan ΔCTB sebagun (kongruen). Karena sebangun maka perbandingan sisi-sisinya akan sama.
BC/CD = CT/AC
CD (diameter) = BC x AC / CT
CD (diameter) = a x b / CT_{……. (persamaan 1)}
Nilai CT bisa kita cari dengan persamaan Luas
Luas ΔABC = 1/2 AB x CT
2 Luas ΔABC = AB x CT
CT = 2 Luas ΔABC / AB
CT = 2L/ c_{……..(persamaan 2)}
Kita masukkan persamaan 2 ke persamaan 1
CD = a x b / CT
CD = a x b / (2L/c)
CD = a x b x c / 2L
Jari-jari = 1/2 CD
r = 1/2 CD = a x b x c / 4L
a, b, dan c = sisi-sisi segitiga
L = luas segitiga

GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DALAM & LUAR
1. Rumus Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Buah Lingkaran.
Yang dimaksud adalah panjang ruas garis yang dibentuk oleh titik-titik singgung lingkaran dengan garis singgung persekutuan dalam.
Perhatikan gambar!!
Gambar di atas menunjukkan lingkaran P dan lingkaran Q yang secara berturut-turut memiliki panjang jari-jari r₁ dan r₂. Garis RT merupakan garis singgung persekutuan dalam dari lingkaran-lingkaran P dan Q. Apabila ruas garis RT digeser ke atas sejauh PT sedemikian sehingga titik T berimpit dengan P dan menghasilkan ruas garis SP maka SP = RT, dan SR = PT = r₁. Perhatikan bahwa SQ = SR + RQ = PT + RQ = r₁ + r₂, dan jarak antara titik-titik pusat lingkaran-lingkaran P dan Q adalah d. Karena segitiga QSP siku-siku di S, maka berlaku teorema Pythagoras sebagai berikut :

Kesimpulan dari pembahasan diatas = Kuadrat dari panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran sama dengan kuadrat dari jarak titik-titik pusat kedua lingkaran dikurangi dengan kuadrat dari jumlah panjang jari-jarinya.

Contoh Soal :

Diketahui dua buah lingkaran dengan jarak kedua pusat lingkaran 15 cm, jari-jari lingkaran besar 5 cm, dan jari-jari lingkaran kecil 4 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalamnya?

Penyelesaian :
PQ = d = 15cm
r₂   = 5
r₁ = 4
RT = √(d² – ( r₁+ r₂ )²)
     = √(15² – ( 4+ 5 )²)
     = √(225 - ( 9 )²)
     = √(225 - 81)
     = √144
   = 12

2. Rumus Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Buah Lingkaran.

Misalkan lingkaran A dan lingkaran B berikut secara berturut-turut memiliki jari-jari yang panjangnya r₁ dan r₂, seperti diperlihatkan oleh gambar berikut ini.

Garis DC di atas merupakan garis singgung persekutuan luar dari lingkaran A dan lingkaran B. Apabila Ruas garis DC digeser ke bawah sejauh CE sedemikian sehingga titik D berimpit dengan titik A, maka DC = AE dan DA = CE. Perhatikan bahwa EB = CB – CE, dan misalkan AB = d.

Karena segitiga AEB siku-siku di E, maka berlaku teorema Pythagoras seperti berikut:

Karena AE = DC, AB = d, dan EB = CB – CE = r₂ – r₁ maka diperoleh kesimpulan bahwa
Kuadrat dari panjang ruas garis singgung persekutuan luar dua lingkaran sama dengan kuadrat dari jarak titik pusat kedua lingkaran dikurangi dengan kuadrat dari selisih jari-jarinya.

Contoh Soal :

Diketahui dua buah lingkaran dengan jarak kedua pusat lingkaran 26 cm, jari-jari lingkaran besar 12 cm, dan jari-jari lingkaran kecil 2 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalamnya?

Jawab :
AB = d = 26cm
r₂   =12
r₁ =2
RT = √(d² – ( r₁- r₂ )²)
     = √(26² – ( 12- 2 )²)
     = √(676 - ( 10 )²)
     = √(676 - 100)
     = √576
   = 24

DAFTAR PUSTAKA :

http://www.antotunggal.com/2021/10/contoh-rumus-luas-segi-n.html

https://rumushitung.com/2014/12/22/rumus-jari-jari-lingkaran-dalam-dan-lingkaran-luar-segitiga/

https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2016/08/rumus-garis-singgung-persekutuan-dalam.html

Cari Blog Ini

Najwa Khairi Elhamdi [ X Mipa 3 ]